The Mordell–lang Question for Endomorphisms of Semiabelian Varieties

The Mordell–Lang conjecture describes the intersection of a finitely generated subgroup with a closed subvariety of a semiabelian variety. Equivalently, this conjecture describes the intersection of closed subvarieties with the set of images of the origin under a finitely generated semigroup of translations. We study the analogous question in which the translations are replaced by algebraic group endomorphisms (and the origin is replaced by another point). We show that the conclusion of the Mordell–Lang conjecture remains true in this setting if either (1) the semiabelian variety is simple, (2) the semiabelian variety is A2, where A is a one-dimensional semiabelian variety, (3) the subvariety is a connected one-dimensional algebraic subgroup, or (4) each endomorphism has diagonalizable Jacobian at the origin. We also give examples showing that the conclusion fails if we make slight modifications to any of these hypotheses. La conjecture du Mordell-Lang décrit l’intersection d’une sous-groupe de type fini avec une variété fermée d’une variété semi-abélienne. Equivalemment, cette conjecture décrit l’intersection de sous-variétés fermées avec la collection d’images de l’origine sous un semigroupe de translatés de type fini. Nous étudions la question analogue dans laquelle les translatés sont remplacées par les endomorphismes de groupe algébriques (et l’origine est remplacée par un autre point). Nous montrons qui la conclusion de la conjecture du MordellLang reste vraie dans ce paramètre si ou (1) la variété semi-abélienne est simple, (2) la variété semi-abélienne est A2, où A est une variété semi-abéliennne de dimension 1, (3) la sous-variété est une sous-variété semi-abéliennne de dimension 1, ou (4) la matrice jacobienne à l’origine du chaque endomorphisme est diagonalisable. Nous donnons aussi des exemples qui montre que la conclusion échoue si nous faisons l’affront à n’importe lequel de ces hypothéses.